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等概率抽样——水塘抽样

给出一个数据流，这个数据流的长度很大或者未知。并且对该数据流中数据只能访问一次，且不能使用额外的空间，请写出一个随机选择算法，使得数据流中所有数据被选中的概率相等。

从头开始遍历数据，当遍历到第n个数据时，从0到n-1中随机选取一个数字，如果选到数字0，则将答案置为该数据的值，否则答案不变继续向下抽样，遍历完所有数据后，抽到每个数据的概率都是$\frac {1}{n}$

证明：
P(第i个数据为最终答案)
=P(第i个数据抽到随机数0)×P(第i+1个数据没有抽到随机数0)×P(第i+2个数据没有抽到随机数0)×···×P(第n个数据没有抽到随机数0)
=$\frac {1}{i}$×(1-$\frac {1}{i+1}$)×(1-$\frac {1}{i+2}$)×···×(1-$\frac {1}{n}$)
=$\frac {1}{i}$×$\frac {i}{i+1}$×$\frac {i+1}{i+2}$×···×$\frac {n-1}{n}$
=$\frac {1}{n}$

例题

LeetCode382. 链表随机节点

给你一个单链表，随机选择链表的一个节点，并返回相应的节点值。每个节点 被选中的概率一样 。
实现 Solution 类：
Solution(ListNode head) 使用整数数组初始化对象。
int getRandom() 从链表中随机选择一个节点并返回该节点的值。链表中所有节点被选中的概率相等。

class Solution
{
public:
    ListNode *head;
    Solution(ListNode *head)
    {
        this->head = head;
    }

    int getRandom()
    {
        int ret = 0;
        int i = 1;
        ListNode *node = head;
        while (node)
        {
            int t = rand() % i;
            if (t == 0)
            {
                ret = node->val;
            }
            node = node->next;
            i++;
        }
        return ret;
    }
};